Question

若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，试求实数m的取值范围。

Answer 1

解：令sinθ=t，则-1≤t≤1，
要使cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，
即sin²θ-2msinθ+2m+1＞0恒成立，
设f(t)=t²-2mt+2m+1，则只要f(t)＞0在[-1，1]上恒成立即可，
由于f(t)=(t-m)²+2m+1-m²(-1≤t≤1)，
所以只要f(t)的最小值大于零即可，
若m＜-1，则当t=-1时，f(t)_min=2+4m，
令2+4m＞0，得m＞-，这与m＜-1矛盾，故舍去；
若-1≤m≤1，则当t=m时，f(t)_min=-m²+2m+1，
令-m²+2m+1＞0，解得1-＜m＜1+，
∴1-＜m≤1；
若m＞1，则当t=1时，f(t)_min=2＞0，∴m＞1；
综上所述，m＞1-。