Question

若ln

1

m

+m≤1成立，求m取值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由条件知m＞0，不等式ln

1

m

+m≤1等价于m-lnm≤1，构造函数f（m）=m-lnm，
求导研究函数的单调性知当m=1时函数f（m）取最小值f（1）=1-ln1=1，即f（m）=m-lnm=ln

1

m

+m≥1，结合条件知ln

1

m

+m=1，解得可得结果．

解答： 解：由条件知m＞0，
不等式ln

1

m

+m≤1等价于m-lnm≤1，
构造函数f（m）=m-lnm
f′（m）=1-

1

m

=

m-1

m

，由f′（m）=0得m=1
当0＜m＜1时，f′（m）＜0，故f（m）在0＜m＜1时递减；当m＞1时，f′（m）＞0，故f（m）在0＜m＜1时递增；
∴当m=1时函数f（m）取最小值f（1）=1-ln1=1，∴f（m）=m-lnm=ln

1

m

+m≥1，
又∵ln

1

m

+m≤1
∴ln

1

m

+m=1，且只有一个根，
∴m-lnm=1
∵1-ln1=1
∴m=1

点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值，本题中取等号是解题的关键，属于中档题．