Question

设a_n=n+，求证：数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

【答案】分析：假设数列{a_n}中存在三项a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知a_q²=a_pa_r．把a_p，a_q，a_r代入求得（q2-pr）+（2q-p-r）=0进而推断出，求得p=r，与p≠r矛盾．进而可知假设不成立．
解答：证明：假设数列{a_n}中存在三项a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则a_q²=a_pa_r．
即（q+）2=（p+）（r+）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）=0
∵p，q，r∈N^*，
∴，
∴（）2=pr，（p-r）2=0，
∴p=r．
与p≠r矛盾．
所以数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
点评：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．