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    （2008•和平区三模）定义一种运算*，满足n*k=nλk-1（n，k∈N*，λ为非零实常数）
    （1）对任意给定的k，设an=n*k（n=1，2…），求证数列{an}是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项和；
    （2）对任意给定的n，设bk=n*k（k=1，2…），求证数列{bk}是等比数列，并求出此时该数列前10项的和；
    （3）设Cn=n*n，试求数列{Cn}的前n项和Sn，并求当λ∈（0，1）时，
    limn→∞
    Sn    ．
    分析：（1）依题意，可求得an=nλk-1，利用等差数列的定义即可判定数列{an}是公差为λk-1的等差数列，当k=2时，an=nλ，从而可求该数列的前10项和；
    （2）bk=n*k=nλk-1⇒
    bk+1
    bk
    =λ，可知数列{bk}是公比为λ的等比数列，分λ=1与λ≠1，利用等比数列的求和公式即可求得该数列前10项的和；
    （3）依题意，可求得∴Cn=nλn-1，Sn=1+2λ+3λ2+…+nλn-1，利用错位相减法即可求得Sn．
    解答：解：（1）∵an=n*k，又n*k=nλk-1，
    ∴an=nλk-1，
    ∴an+1=（n+1）λk-1，
    ∴an+1-an=λk-1（2分）
    ∴数列{an}是公差为λk-1的等差数列（3分）
    当k=2时，an=nλ，
    ∴a1+a2+…+a10=
    10(λ+10λ)
    2
    =55λ（4分）
    （2）∵bk=n*k=nλk-1，
    又λ≠0，
    ∴
    bk+1
    bk
    =λ，
    故数列{bk}是公比为λ的等比数列（6分）
    当λ=1时，b1+b2+…+b10=10n，
    当λ≠1时，b1+b2+…+b10=
    n(1-λ10)
    1-λ
    （8分）
    （3）∵n*k=nλk-1，
    ∴n*n=nλn-1，
    而Cn=n*n
    ∴Cn=nλn-1，
    所以Sn=1+2λ+3λ2+…+nλn-1①（9分）
    当λ=1时，Sn=1+2+3+…+n=
    n(n+1)
    2
    （10分）
    当λ≠1时，λSn=λ+2λ2+3λ3+…+nλn②（11分）
    ①-②得（1-λ）Sn=1+λ+λ2+λ3+…+λn-1-nλn
    =
    1-λn
    1-λ
    -nλn=
    1-(n+1)λn+nλn+1
    1-λ

    所以Sn=
    1-(n+1)λn+nλn+1
    (1-λ)2
    （13分）
    则当λ∈（0，1）时，
    lim
    n→∞
    Sn    =
    1
    (1-λ)2
    （14分）
    点评：本题考查数列的求和，着重考查错位相减法求和，考查极限的运算，突出转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．
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    1
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    2
    		3
    2
    		3
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    3
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