Question

已知函数y=4^x+2^x+1+5，x∈[0，2]，若t=2^x
（1）若t=2^x，把y写成关于t的函数，并求出定义域；
（2）求函数的最大值．

Answer 1

解．（1）原函数化为y=（2^x）²+2•2^x+5..（2分）∵t=2^x∴y=t²+2t+5又．（4分）x∈[0，2]∴t∈[1，4]∴y=t²+2t+5函数定义域为t∈[1，4]..（6分）
（2）由（1）知原函数可化为y=t²+2t+5t∈[1，4]（8分）
y=t²+2t+5=（t+1）²+4（10分）
函数在区间[1，4]为增函数，（12分）
当t=4即x=2时，函数取到最大值y_max=29（16分）
分析：把函数变形可得y=（2^x）²+2•2^x+5
（1）由x∈[0，2]可得t=2^x∈[1，4]，把t=2^x代入到①可求y关于t的函数，
（2）由（1）可把已知转化为求函数y=t²+2t+5在区间[1，4]的最值，配方结合二次函数的最值求解．
点评：本题以指数函数的值域的求解为载体，综合考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，对于二次函数在闭区间上的最值的求解，常先对函数进行配方，然后结合函数的图象，判断函数在所给区间上的单调性，从而求出函数的最值．