Question

经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短的直线的方程是（　　）

A．x-2y-1=0

B．x+2y-1=0

C．x+2y-5=0

D．2x-y-5=0

Answer 1

分析：根据圆的性质可得d2=r2-(

l

2

)2（l为直线被圆截得的弦长），若使经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，则只要圆心C到直线的距离d最大，而d≤PC，当直线l与PC垂直时，d_max=PC，从而可求直线方程

解答：解：由题意可得圆心为C（1，2），半径r=5
根据圆的性质可得d2=r2-(

l

2

)2（l为直线被圆截得的弦长）
若使经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，则只要圆心C到直线的距离d最大
根据题意可得，d≤PC，当直线l与PC垂直时，d_max=PC=

(3-1)2+(2-1)2

=

5

此时所求直线的斜率为k=-

1

kPC

=2
∴所求的直线的方程为y-1=2（x-3）整理可得2x-y-5=0
故选D

点评：本题主要考查了直线与圆的相交位置关系的应用，解题的关键 是灵活利用圆性质d2=r2-(

l

2

)2（l为直线被圆截得的弦长），把所求弦的最小转化为圆心到直线的距离的最大值