Question

已知向量

a

=(

1

sinx

，-

1

sinx

)，

b

=(2，cos2x)，其中x∈(0，

π

2

]．
（1）试判断

a

与

b

能否平行？并说明理由；
（2）求f（x）=

a

•

b

的最小值．

Answer 1

（1）

a

与

b

不能平行，理由如下
若

a

∥

b

，则

1

sinx

×cos2x+

2

sinx

=0
∵x∈(0，

π

2

]，
∴sinx≠0，
∴cos2x=-2，
这与|cos2x|≤1矛盾，
故

a

与

b

 不能平行
（2）由题意f（x）=

a

•

b

=

2

sinx

-

1

sinx

×cos2x=

2-cos2x

sinx

=

1

sinx

+2sinx
∵x∈(0，

π

2

]
∴sinx∈（0，1]．
∴f（x）=

1

sinx

+2sinx≥2

1 sinx ×2sinx

=2

2

当且仅当

1

sinx

=2sinx，即x=

π

4

时取等号
∴f（x）=

a

•

b

的最小值是2

2