Question

已知向量

a

=(

2

sinx

，

-1

sinx

)，

b

=(1，cos2x)且x∈(0，

π

2

]，
（Ⅰ）若

a

与

b

是两个共线向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=

a

•

b

，求函数f（x）的最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共线的充要条件列出三角方程，求出cos2x的值，根据角的范围求出角x．
（Ⅱ）利用向量的数量积求出函数f（x），利用二倍角公式化简f（x），利用基本不等式求出函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

∥

b

∴

2cos2x

sinx

=-

1

sinx

，
又∵x∈(0，

π

2

]
∴sinx≠0，2x∈（0，π]
∴cos2x=-

1

2

即2x=

2π

3

∴x=

π

3

．
（Ⅱ）f(x)=

a

•

b

=

2-cos2x

sinx

=

1+2sin2x

sinx

=2sinx+

1

sinx

≥2

2

当且仅当2sinx=

1

sinx

即sinx=

2

2

时取到等号．
故函数f（x）的最小值为2

2

，此时x=

π

4

．

点评：本题考查向量共线的充要条件、解三角方程、向量的数量积公式、利用基本不等式求最值．