Question

已知向量

a

=(2sinx，sinx-cosx)，

b

=(cosx，

3

(cosx+sinx))，函数f(x)=

a

•

b

+1
（1）当x∈(

π

4

，

π

2

)时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算性质、两角和的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+1=2sin(2x-

π

3

)+1′．
∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

2

≤2x≤π，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，∴1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，
于是2≤2sin(2x-

π

3

)+1≤3，
∴f（x）的最大值是3，最小值是2．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，
同理由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得
f（x）的单调递减区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．

点评：本题考查了数量积运算性质、两角和的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．