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已知向量
a
=(2sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,2cosx)
,定义函数f(x)=
a
b
-1

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间;
(Ⅲ)在答卷的坐标系中画出函数g(x)=f(x),x∈[-
π
12
11π
12
]
的简图,并由图象写出g(x)的对称轴和对称中心.
分析:直接利用向量的数量积求出函数的表达式,通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式,
(Ⅰ)直接利用正弦函数的周期求解函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)利用正弦函数的单调增区间,求出函数f(x)的单调减区间;
(Ⅲ)利用五点法画出函数g(x)=f(x),x∈[-
π
12
11π
12
]
的简图,并由图象写出g(x)的对称轴和对称中心.
解答:解:因为向量
a
=(2sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,2cosx)

函数f(x)=
a
b
-1
=2cos2x+2
3
sinxcosx-1=cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
).
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期为
2
=π;
(Ⅱ)令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
2
得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z,
从而可得函数的单调减区间为[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈Z.
(Ⅲ)函数g(x)=f(x),x∈[-
π
12
11π
12
]
的图象如图所示,
从图象上可以直观看出,此函数没有对称轴,有一个对称中心.
∴对称中心是(
12
,0)…(14分)
点评:本题考查向量的数量积,二倍角公式两角和的正弦函数,三角函数的基本性质,三角函数的公式比较多,平时一定要加强记忆,到运用时方能做到游刃有余,考查计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(
2
sinx
-1
sinx
),
b
=(1,cos2x)
x∈(0,
π
2
]

(Ⅰ)若
a
b
是两个共线向量,求x的值;
(Ⅱ)若f(x)=
a
b
,求函数f(x)的最小值及相应的x的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2005•东城区一模)已知向量
a
=(2sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,2cosx),定义函数f(x)=
a
b
-1

(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调减区间;
(3)画出函数g(x)=f(x),x∈[-
12
12
]
的图象,由图象研究并写出g(x)的对称轴和对称中心.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2sinx,cosx)
b
=(cosx,2cosx)

(1)求f(x)=
a
b
,并求f(x)的单调递增区间.
(2)若
c
=(2,1)
,且
a
-
b
c
共线,x为第二象限角,求(
a
+
b
)•
c
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2sinx,sinx-cosx)
b
=(cosx,
3
(cosx+sinx))
,函数f(x)=
a
b
+1

(1)当x∈(
π
4
π
2
)
时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求f(x)的单调区间.

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