Question

15．已知a＞0，b＞0，c＞0．
（1）若a+b=2，求证：ab（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）≤2；
（2）若abc（a+b+c）=1，求（a+b）（b+c）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由基本不等式可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=1，$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≤2，累乘即可得证；
（2）abc（a+b+c）=1，可得b（a+b+c）=$\frac{1}{ac}$，可得（a+b）（b+c）=ac+b（a+b+c）=ac+$\frac{1}{ac}$，再议基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）证明：由a，b＞0，a+b=2，
可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=1，当且仅当a=b=1取得等号；
（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$≤2+2=4，
即有$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≤2，
则ab（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）≤2（当且仅当a=b=1取得等号）；
（2）abc（a+b+c）=1，可得b（a+b+c）=$\frac{1}{ac}$，
则（a+b）（b+c）=ac+b（a+b+c）=ac+$\frac{1}{ac}$≥2$\sqrt{ac•\frac{1}{ac}}$=2，
当且仅当ac=1时，取得最小值，且为2．

点评 本题考查不等式的证明和最小值的求法，注意运用基本不等式，运用累乘法和式子的变形是解题的关键．