Question

已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点Q（1，

3

2

），且点Q在x轴的射影恰为该椭圆的一个焦点F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把Q（1，

3

2

）代入，能求出椭圆C的方程．
（II）“过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是4”．利用直线和椭圆的位置关系能够进行证明．

解答： 解：（I）∵中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点Q（1，

3

2

），
且点Q在x轴的射影恰为该椭圆的一个焦点F₁，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
把Q（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，
整理，得4a⁴-17a²-4=0，
解得a²=4，或a2=

1

4

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（II）“过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是4”…（5分）
证明如下：
由于l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=k（x-1）
①当k≠0时，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．
依题意l与C有两个交点A、B，所以△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)=

-6k

3+4k2

，
所以线段AB的中点P的坐标为(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)，…（7分）
AB的垂直平分线MP的方程为：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
令y=0，解得x=

k2

3+4k2

，即M(

k2

3+4k2

，0)，
所以|F1M|=

3(1+k2)

3+4k2

．…（9分）
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 8k2 3+4k2 )2-4(- 4k2-12 3+4k2 )

=

12(1+k2)

3+4k2

，…（10分）
所以

|AB|

|F1M|

=4．…（11分）
②k=0时，易得结论成立．
综上所述，结论成立．^…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两条线段长的比值是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．