Question

已知m＞0，函数f（x）=x³-mx在[2，+∞）上是单调函数，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：由m＞0，函数f（x）=x³-mx在[2，+∞）上是单调函数，
得f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，列出不等式得出不等式恒成立的条件求得结论．

解答： 解：由f（x）=x³-mx得，f′（x）=3x²-m
又m＞0，函数f（x）=x³-mx在[2，+∞）上是单调函数，
∴f′（x）=3x²-m≥0在[2，+∞）上恒成立，即m≤3x²恒成立，
∴m≤（3x²）_min即可，
又y=3x²在[2，+∞）上是单调增函数，∴当x2时，（3x²）_min=12，又m＞0，
∴0＜m≤12．即m的取值范围是（0，12]．
故答案为（0，12]．

点评：考查利用导数判断函数的单调性的方法以及把不等式恒成立的条件转化为求函数的最值问题解决的能力，属中档题．