Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*满足S_n=2a_n-3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时求得a₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，整理得a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列通项公式求得{a_n}的通项公式；
（2）求得数列{c_n}的通项公式，采用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1，a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-3．
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3-2a_n-1+3，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列；
∴a_n=3×2^n-1；
（2）c_n=na_n=3n•2^n-1，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=3（1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1）
2T_n=3（1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ）
两式相减：-T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ），
=3（$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ），
=3[（1-n）•2ⁿ-1]，
∴T_n=3（n-1）•2ⁿ+3．

点评 本题考查数列求和，考查等比关系的确定，考查错位相减法及等差数列的求和，考查综合分析与运算能力，属于中档题．