Question

某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：

①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系r(x)＝kx＋b₁；在销售淡季近似地符合函数关系r(x)＝kx＋b₂，其中k＜0，b₁＞0，b₂＞0，且k，b₁，b₂为常数．

②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；

③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．

请根据上述信息，完成下面问题：

(1)填出表格中空格的内容：

(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1； 　　在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2， 　　所填内容如下表所示： 　　(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0．∴＞0，＞0． 　　∴50－＞0，50＞0． 　　则在销售旺季，y＝kx2－(100k－b1)x－100b1， 　　∴当x＝＝50时，利润y取最大值； 　　在销售淡季，y＝kx2－(100k－b2)x－100b2， 　　∴当x＝＝50时，利润y取最大值． 　　由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润， 　　因此在销售旺季，当标价x＝50＝140时，利润y取最大值．∴b1＝－180k． 　　∴此时销售量为r(x)＝kx－180k．令kx－180k＝0，得x＝180， 　　即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件． 　　∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×＝120元/件． 　　可见在销售淡季，当标价x＝120元/件时，销售量为r(x)＝kx＋b2＝0． 　　∴120k＋b2＝0．∴＝－120． 　　∴在销售淡季，当标价x＝50＝50＋60＝110元/件时，利润y取得最大值， 　　即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件才合适．

提示：

思路分析：(1)销售量总利润y＝销售量r(x)×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解． 　　绿色通道：在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x，y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案．