Question

（2012•东城区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F₁（-1，0），长轴长与短轴长的比是2：

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：

1

|AB|

+

1

|CD|

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由长轴长与短轴长的比是2：

3

，c=1，结合a²=b²+c²求出a²，b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）分直线m的斜率存在且不等于0和斜率不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接与椭圆方程联立求线段的长，斜率存在且不等于0时射出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式，借助于根与系数关系求证．

解答：（Ⅰ）解：由已知得

2a：2b=2： 3 c=1 a2=b2+c2

解得：a=2，b=

3

．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知F₁（-1，0），当直线m斜率存在时，设直线m的方程为：y=k（x+1）（k≠0）．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
由于△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(- 8k2 3+4k2 )2-4× 4k2-12 3+4k2 ]

=

12(1+k2)

3+4k2

．
同理|CD|=

12(1+k2)

3k2+4

．
所以

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7(1+k2)

12(1+k2)

=

7

12

．
当直线m斜率不存在时，此时|AB|=3，|CD|=4，

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

3

+

1

4

=

7

12

．
综上，

1

|AB|

+

1

|CD|

为定值

7

12

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了弦长公式的应用，考查了计算能力，属压轴题．