Question

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D₁上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D₂=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{x_n}，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值g（x₀）∈（-1，1）∉D₁，故函数g（x）=2x-1在D₁上不封闭；
（2）若存在，则f(x)=

5x-a

x+2

=5-

10+a

x+2

，根据定义域D₂=（1，5]，可知(

5-a

3

，

25-a

7

]∈（1，5]，故可求；
（3）①根据题意，只需当x≠-2时，方程f（x）=x有解，方程x²-3x+a=0有不等于2的解．将x=2代入方程，得x=2，由此可得a的取值范围．
②根据题意，f（x）=a在R中无解，亦即当x≠-2时，方程（5-a）x=3a无实数解．由此能够导出a．

解答：解：（1）对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值g（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函数g（x）=2x-1在D₁上不封闭；
（2）若存在，则f(x)=

5x-a

x+2

=5-

10+a

x+2

，
∵定义域D₂=（1，5]，∴(

5-a

3

，

25-a

7

]∈（1，5]，
∴-10≤a≤-2
（3）①根据题意，只需当x≠-2时，方程f（x）=x有解，方程x²-3x+a=0有不等于2的解．
将x=-2代入方程，得a=-10，由此可得a的取值范围是（-∞，-10）∪（-10，+∞）．
②根据题意，f(x)=

5x-a

x+2

=a在R中无解，
亦即当x≠-2时，方程（5-a）x=3a无实数解．
∴a=5即为所求a的值．

点评：本题以新定义函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，有一定的难度．