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给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭（写出推理过程）：f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

x2-

x+1，f₃（x）=2^x-1；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封闭？若存在，求出a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．

解答：解：（1）对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f₁（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函数f₁（x）=2x-1在D₁上不封闭；
同理，f₂（x）=-

x2-

x+1=-

(x+

)2+

∈（0，1）；f₃（x）=2^x-1∈（0，1），故在D₁上封闭；
（2）f（x）=

5x-a

x+2

，对称中心为（-2，5）
当a+10＞0时，函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上为增函数，只需

f(1)≥1

f(2)≤2

a＞-10

，∴a=2
当a+10＜0时，函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上为减函数，只需

f(1)≤2

f(2)≥1

a＜-10

，∴a∈∅
综上，所求a的值等于2．

点评：本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．

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科目：高中数学 来源： 题型：

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D₁上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D₂=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{x_n}，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的取值范围．

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