Question

10．已知向量$\overrightarrow m=（2sin（ωx+\frac{π}{3}），1）\;，\overrightarrow{\;n}=（2cosωx，-\sqrt{3}）\;（ω＞0）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当$α∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$时，若f（α）=$\frac{6}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、和差公式、倍角公式可得：函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2$sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，根据f（x）的两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，可得T=π，于是$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．因此f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由f（α）=$\frac{6}{5}$，可得$sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{5}$．由$α∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$，可得$（2α+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，$cos（2α+\frac{π}{3}）$=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$．利用cos2α=$cos（2α+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）$•2cosωx-$\sqrt{3}$=4cosωx$（\frac{1}{2}sinωx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx）$-$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$（2cos²ωx-1）
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2$sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，
∴f（x）的两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得$kπ-\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间是[$kπ-\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．
（2）由f（α）=$\frac{6}{5}$，
∴$2sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{6}{5}$，
∴$sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{5}$．
∵$α∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$，∴$（2α+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，
∴$cos（2α+\frac{π}{3}）$=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{4}{5}$．
∴cos2α=$cos（2α+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=$cos（2α+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{3}$+$sin（2α+\frac{π}{3}）$$sin\frac{π}{3}$
=$-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．