Question

（08年朝阳区综合练习一）（14分）

设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；

（Ⅱ）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（Ⅲ）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．………………………………………………………………2分

用数学归纳法证明如下：

① 当时，有上面的求解知，猜想成立．

② 假设时猜想成立，即成立，

则当时，注意到，

故，．

两式相减，得，所以．

由归纳假设得，，

故．

这说明时，猜想也成立．

由①②知，对一切，成立 ．……………………………………5分

（Ⅱ）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，  故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.………………8分

（Ⅲ）因为，故，

所以．

又，

故对一切都成立，就是

对一切都成立．

设，则只需即可．

由于，

所以，故是单调递减，于是．

令，即 ，

解得，或．

综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是

．…………………………………………………………14分

注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分. （2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.