Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA₁=

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，D是A₁B₁中点．
（1）求证C₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴A₁C₁=B₁C₁=1，且∠A₁C₁B₁=90°．
又D是A₁B₁的中点，∴C₁D⊥A₁B₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D，∴C₁D⊥平面AA₁B₁B．
（2）作DE⊥AB₁交AB₁于E，延长DE交BB₁于F，连接C₁F，则AB₁⊥平面C₁DF，点F即为所求．
事实上，∵C₁D⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴C₁D⊥AB₁．又AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，
∴AB₁⊥平面C₁DF．
四边形AA₁B₁B为正方形，此时点F为B₁B的中点．