Question

如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE．
∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO．
∵E为PC的中点，∴EO∥PA．
∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．