Question

已知偶函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则转化成方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）?log₄（4^-1+1）-k=log₄（4+1）+k，
∴k=-

1

2

．
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)有且只有一个实根
化简得：方程2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一个实根
令t=2^x＞0，则方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一个正根
①a=1?t=-

3

4

，不合题意；
②△=0?a=

3

4

或-3
若a=

3

4

?t=-

1

2

，不合题意；若a=-3?t=

1

2

③若一个正根和一个负根，则

-1

a-1

＜0，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}

点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．