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    （I）试证明柯西不等式：

    （II）已知，且，求的最小值．

     

    【答案】

    （1）对于不等式的证明可以运用综合法也可以运用分析法来得到。也可以运用作差法加以证明。

    （2）根据题意，由于，那么结合均值不等式来求解最值。

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）证明：左边=,

    右边=,

    左边右边 ,        2分

    左边右边, 命题得证.        3分

    （Ⅱ）令，则,

    ,     ,

    ,           4分

    由柯西不等式得：,           5分

    当且仅当，即，或时     6分

    的最小值是1 .           7分

    解法2：, ,

    ,   4分

    ，     5分

    当且仅当，或时   6分

    的最小值是1.     7分

    考点：不等式的证明与求解最值

    点评：主要是考查了不等式的证明，以及均值不等式求解最值的运用，属于中档题。

     

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    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知e1=
    1
    1
    是矩阵M=
    a
     1
    0
     b
    属于特征值λ1=2的一个特征向量．
    （I）求矩阵M；
    （Ⅱ）若a=
    2
    1
    ，求M10a．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为
    AB
    为参数）．
    （I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
    （Ⅱ）以A（l，0为极点，|
    AB
    |为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    （I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
    （Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求
    1
    (x+y
    )
    2
     
    +
    1
    (x-y
    )
    2
     
    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：044

    证明柯西不等式的推论：设a1 ，a2 ，… a n为正实数

    则：

     

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    科目：高中数学 来源：数学教研室 题型：044

    证明柯西不等式的推论：设a1 ，a2 ，… a n为正实数

    则：

     

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    科目：高中数学 来源：2012年福建省厦门市高三5月适应性考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知是矩阵属于特征值λ1=2的一个特征向量．
    （I）求矩阵M；
    （Ⅱ）若，求M10a．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．
    （I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
    （Ⅱ）以A（l，0为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    （I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
    （Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

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