Question

（2012•厦门模拟）本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知e1=

1 1

是矩阵M=

a  1 0  b

属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
（I）求矩阵M；
（Ⅱ）若a=

2 1

，求M¹⁰a．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为

AB

为参数）．
（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0为极点，|

AB

|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求

1

(x+y ) 2

+

1

(x-y ) 2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）（I）由题意，根据特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵M；
（Ⅱ）求出矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），从而可求矩阵M的另一个特征值与特征向量，将向量用特征向量线性表示，进而可求结论；
（2）（I）由

x=2+cosθ y=sinθ

消去θ，即可得普通方程；
（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）²+y²=1，从而可得曲线C的极坐标方程；
（3）（I）利用作差法即可证得；
（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，根据

x

2

+

y

2

=2，可得u²+v²=4，由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，从而可求

1

(x+y) 2

+

1

(x+y) 2

的最小值．

解答：（1）解：（I）由题意，

a 1 0 b

1 1

=2

1 1

，∴

a+1=2 b=2

，∴a=1，b=2
∴矩阵M=

1 1 0 2

；
（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）
∴矩阵M的另一个特征值为λ₂=1
设

e2

=

x y

是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

1 1 0 2

x y

=

x y

∴

x+y=x 2y=y

，取x=1，则

e2

=

1 0

∴

a

=

e1

+

e2

∴M10

a

=210

1 1

+110

1 0

=

1025 1024

（2）（I）由

x=2+cosθ y=sinθ

消去θ可得（x-2）²+y²=1；
（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0
∴曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ=0
（3）（I）证明：左边-右边=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，∴左边≥右边
即(

a

2

+

b

2

)(

x

2

+

y

2

)≥

(ax+by)

2

(a，b，x，y∈R)
（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则x=

u+v

2

，y=

u-v

2

∵

x

2

+

y

2

=2，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4
由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，当且仅当u=v=

2

，即x=

2

，y=0或x=0，y=

2

时，

1

(x+y) 2

+

1

(x+y) 2

的最小值是1．

点评：本题是选做题，考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，考查坐标系与参数方程，考查柯西不等式的证明与运用，属于中档题．