Question

（2012•江西）已知数列{a_n}的前n项和S_n=-

1

2

n²+kn（其中k∈N₊），且S_n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a_n；
（2）求数列{

9-2an

2n

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由二次函数的性质可知，当n=k时，Sn=-

1

2

n2+kn取得最大值，代入可求k，然后利用a_n=s_n-s_n-1可求通项
（2）由bn=

9-2an

2n

=

n

2n-1

，可利用错位相减求和即可

解答：解：（1）当n=k时，Sn=-

1

2

n2+kn取得最大值
即8=Sk=-

1

2

k2+k2=

1

2

k2=8
∴k=4，S_n=-

1

2

n²+4n
从而a_n=s_n-s_n-1=-

1

2

n2+4n-[-

1

2

（n-1）²+4（n-1）]=

9

2

-n
又∵a1=S1=

7

2

适合上式
∴an=

9

2

-n
（2）∵bn=

9-2an

2n

=

n

2n-1

∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+ 

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

两式相减可得，

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，及数列求和的错位相减求和方法是数列求和中的重要方法，也是高考在数列部分（尤其是理科）考查的热点，要注意掌握