Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，点A在双曲线第一象限的图象上，△AF₁F₂的面积为1，且sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠F₁AF₂=$\frac{4}{5}$
（1）求双曲线的方程
（2）已知直线y=kx+1与双曲线相交于不同两点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（m，n）．m＞0，n＞0．由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，可得tan∠AF₁F₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠F₁AF₂=$\frac{4}{5}$得tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，由△AF₁F₂的面积为1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，联立求出A的坐标，即可得出双曲线的方程．
（2）直线与双曲线方程联立，利用判别式大于0，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）设A（m，n）．m＞0，n＞0．
由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，可得tan∠AF₁F₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，
由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠F₁AF₂=$\frac{4}{5}$得tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，
由△AF₁F₂的面积为1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，
以上三式联立解得：c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以A（$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），F₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
根据双曲线定义可得2a=|AF₁|-|AF₂|=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
所以a=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，b=$\frac{1}{3}$，
所以双曲线方程为$\frac{12{x}^{2}}{5}-3{y}^{2}$=1；
（2）直线y=kx+1与双曲线方程联立可得（12-15k²）x²-30kx-20=0，
∵直线y=kx+1与双曲线相交于不同两点，∴△=900k²+80（12-15k²）＞0，∴-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查双曲线方程，考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．