Question

8．圆O的半径为3，一条弦AB=4，P为圆O上任意一点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围为（　　）

• A． [-16，0]
• B． [0，16]
• C． [-4，20]
• D． [-20，4]

Answer 1

分析 如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得BC=$\frac{1}{2}$AB=2．可得cos∠OBA．利用向量的三角形法则，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}$，代入数量积即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围．

解答 解：如图所示，连接OA，OB．
过点O作OC⊥AB，垂足为C．
则BC=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴cos∠OBA=$\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}$
=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OP}|•cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞$$-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OB}|•cos∠OBA$．
=$4×3×cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞-4×3×\frac{2}{3}$=$12cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞-8$．
∵cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞$∈[-1，1]，
∴12cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞$-8∈[-20，4]．
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积运算、垂径定理、向量共线定理，属于中档题．