Question

20．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{（x-1）^2}+1，x＜1\\（a+3）x+4a，x≥1\end{array}$满足对于任意x₁＜x₂时都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，则a的取值范围[-$\frac{2}{5}$，0）．

Answer 1

分析 由增函数的定义知，得到此函数是一个增函数，由此关系得出a的取值范围即可．

解答 解：根据题意，由增函数的定义知，此函数是一个增函数；
故有$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+3＞0}\\{1≤a+3+4a}\end{array}\right.$，解得-$\frac{2}{5}$≤a＜0，
则a的取值范围是[-$\frac{2}{5}$，0），
故答案为：[-$\frac{2}{5}$，0）．

点评 本题考查函数的连续性，解题本题关键是根据题设中的条件得出函数是一个增函数，再有增函数的图象特征得出参数所满足的不等式，这是此类题转化常的方式，本题考查了推理论证的能力及转化的思想．