Question

已知椭圆C：+y²=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F的值线l交椭圆C于A、B两点，过F₂且平行于l的直线l₁交椭圆C与M、N两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）求△ABM面积的最大值．

Answer 1

解：（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长=|AB|+AF₂|+|BF₂|=4a=8；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠时，l：y=tanθ（x+），l₁：y=tanθ（x-）
点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离：d=2sinθ
∵=
∴S_△ABM==≤=2
当且仅当sinθ=时，取等号
当θ=时，|AB|=1，d=2，此时
∴△ABM面积的最大值为2．
分析：（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠时，求出点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离，|AB|，计算三角形的面积，利用基本不等式求最值；当θ=时，|AB|=1，d=2，此时，由此可得△ABM面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．