Question

椭圆G：的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆 ，且点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为

（1）求此时椭圆G的方程；

（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。

Answer 1

解:（1）根据椭圆的几何性质，线段F₁F₂与线段B₁B₂互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，

故该椭圆中a=b=c,即椭圆方程可为x²+2y²=2b²

设H（x，y）为椭圆上一点，则

若0

由（舍去）

若b≥3，当y=－3时，|HN|²有最大值2b²+18

由2b²+18=50得b²=16   ∴所求椭圆方程为

（ii）设E（x₁，y₁），F(x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则由

             ③

又直线PQ⊥直线m    ∴直线PQ方程为

将点Q（x₀，y₀）代入上式得，    ④

由③④得Q

而Q点必在椭圆内部        由此得

故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称.