Question

有人玩掷硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正反面为等可能性事件,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第100站,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋向前跳一站(从k到k+1),若掷出反面,棋向前跳两站(从k到k+2),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时,该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为P_n.

(1)求P₀、P₁、P₂的值;

(2)求证:P_n-P_n-1=-(P_n-1-P_n-2),其中n∈N,2≤n≤99;

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

Answer 1

(1)解：棋子开始在第0站为必然事件,

    ∴P₀=1.

    第一次掷硬币出现正面,棋子跳到第1站,其概率为,

    ∴P₁=.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑:

    ①前两次掷硬币都出现正面,其概率为;

    ②第一次掷硬币出现反面,其概率为.

    ∴P₂=+=.

(2)证明:棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种,而且也只有两种:

    ①棋子先到第n-2站,又掷出反面,其概率为P_n-2;

    ②棋子先到第n-1站,又掷出正面,其概率为P_n-1.

    ∴P_n=P_n-2+P_n-1.

    ∴P_n-P_n-1=- (P_n-1-P_n-2).

(3)解:由(2)知,当1≤n≤99时,数列{P_n-P_n-1}是首项为P₁-P₀=-,公比为-的等比数列.

    ∴P₁-1=-,P₂-P₁=(-)²,P₃-P₂=(-)³,…,P_n-P_n-1=(-)ⁿ.

    以上各式相加,得P_n-1=(-)+(-)²+…+(-)ⁿ,

    ∴P_n=1+(-)+(-)²+…+(-)ⁿ=［1-(-)ⁿ⁺¹］(n=0,1,2,…,99).

    ∴P₉₉=［1-()¹⁰⁰］,

    P₁₀₀=P₉₈=·［1-(-)⁹⁹］=［1+()⁹⁹］.