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    “雪花曲线”因其形状类似雪花而得名，它可以以下列方式产生，如图，有一列曲线P1，P2，P3…，，已知P1是边长为1的等边三角形，Pn+1是对Pn进行如下操作得到：将Pn的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（n=1，2，3…）．
    （1）记曲线P1n的边长和边数分别为an和bn（n=，1，2，…），求an和bn的表达式；
    （2）记Sn为曲线Pn所围成图形的面积，写出Sn与Sn-1的递推关系式，并求Sn．
    分析：（1）结合图形计算得到a1=3，a2=
    1
    3
    ，a3=
    1
    9
    ，…    b1=3，b2=12，b3=48…观察归纳得到an=（
    1
    3
    ）n-1，bn=34n-1．
    （2）pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，即sn=sn-1+bn-1×
    		3
    4
    an2    ，将bn-1，an的表达式代入，利用累加法及等比数列的前n项和公式求出Sn．
    解答：
    解（1）：根据题意得到a1=3，a2=
    1
    3
    ，a3=
    1
    9
    ，…
    b1=3，b2=12，b3=48…
    所以an=（
    1
    3
    ）n-1，bn=34n-1
    （2）因为p2是在p1的每条边上再生出一个小正三角形，于是
    s2=s1+3×
    		3
    4
    a22    ，
    同理，对pn是在pn-1的每条边上再生出一个小正三角形，
    于是pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，
    即sn=sn-1+bn-1×
    		3
    4
    an2    ，
    将bn-1，an的表达式代入得到：Sn=Sn-1+
    3
    4
    （
    4
    9
    ）n-1S1   
    于是可以利用累加的方法得到 
     Sn=Sn-1+
    3
    4
    （
    4
    9
    ）n-1S1    
     Sn-1=Sn-2+
    3
    4
    （
    4
    9
    ）n-2S1    
     …
    S2=S1+
    3
    4
    •
    4
    9
    S1
    将上面式子累加得
    Sn=S1+
    3
    4
    [
    4
    9
    +(
    4
    9
    )    2    +…+(
    4
    9
    )    N-1    ]S1
    =[
    8
    5
    -
    3
    5
    (
    4
    9
    )    n-1    ]s1
    =
    		3
    4
    [
    8
    5
    -
    3
    5
    (
    4
    9
    )    n-1    ]
    点评：本题的关键是通过归纳得到pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．属于难题．
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    （1）记曲线的边长和边数分别为和（）,求和的表达式;

    （2）记为曲线所围成图形的面积,写出与的递推关系式，并求.

     

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       （1）记曲线的边长和边数分别为和（）,求和的表达式;

       （2）记为曲线所围成图形的面积,写出与的递推关系式，并求．

     

     

     

     

     

     

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