Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）．
（1）当α=

5π

6

，β=-

π

2

时，求

a

•

b

的值．
（2）已知

a

•

b

=

1

3

，cosα=

1

7

，0＜β＜α＜

π

2

，求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）化简

a

•

b

的解析式为

cos(α-β)

，再把条件代入运算求得结果．
（2）根据αβ的范围以及

a

•

b

=

1

3

求得cos（α-β）=

1

3

，从而求得sin(α-β)=

2 2

3

，根据sinβ=sin[α-（α-β）]，利用两角差的正弦公式求得sinβ的值．

解答：解：（1）当α=

5π

6

，β=-

π

2

时，

a • b =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)

 
=cos[

5π 6

-(-

π

2

)]=-sin

5π

6

=-

1

2

． …..（4分）
（2）因为：0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

，

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=

1

3

，
所以，sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

2 2

3

，（6分）
因为 cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，∴sinα=

1-sin2α

=

4 3

7

．（8分）
故 sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）…（10分）
=

4 3

7

•

1

3

-

1

7

•

2 2

3

=

4 3 -2 2

21

．…..（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，本题主要考查两角和的正弦公式以及角三角函数的基本关系，属于中档题．