Question

一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球；求
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的内切球的体积．

Answer 1

（1）如图所示．作轴截面，则等腰三角形CAB内接
于圆O，而圆O₁内切于△CAB，设圆O的半径为R，
由题意，得

4

3

πR3=972π，
∴R³=729，R=9∴CE=18；（3分）
已知CD=16，∴ED=2，
连接AE，∵CE是直径，∴CA⊥AE，CA²=CD?CE=18×16=288，
∴CA=12

2

，（5分）
∵AB⊥CD，∴AD²=CD?DE=16×2=32，∴AD=4

2

，（7分）
∴S_侧=πrl=π×4

2

×12

2

=96π；（8分）

（2）设内切圆O₁的半径为r
∵△ABC的周长为2(12

2

+4

2

)=32

2

，
∴

1

2

r×32

2

=

1

2

×8

2

×16，∴r=4；（10分）
∴圆锥的内切球O₁的体积V_球=

4

3

πr3=

256

3

π．（12分）