Question

一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球；求
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的内切球的体积．

Answer 1

解：（1）如图所示．作轴截面，则等腰三角形CAB内接
于圆O，而圆O₁内切于△CAB，设圆O的半径为R，
由题意，得，
∴R³=729，R=9∴CE=18；（3分）
已知CD=16，∴ED=2，
连接AE，∵CE是直径，∴CA⊥AE，CA²=CD•CE=18×16=288，
∴，（5分）
∵AB⊥CD，∴AD²=CD•DE=16×2=32，∴，（7分）
∴S_侧=；（8分）

（2）设内切圆O₁的半径为r
∵△ABC的周长为，
∴，∴r=4；（10分）
∴圆锥的内切球O₁的体积V_球=．（12分）
分析：（1）作轴截面，则等腰三角形CAB内接于圆O，而圆O₁内切于△CAB，设圆O的半径为R，利用已知条件求出R，利用射影定理求出AC，然后求出AD，即可求出圆锥的侧面积；
（2）设内切圆O₁的半径为r，利用三角形ABC的面积公式，求出内切球的半径，即可求圆锥的内切球的体积．
点评：本题是基础题，考查球的圆锥，以及圆锥的内接球，轴截面图形的充分利用，是解题的依据，考查直角三角形的应用，三角形的面积的求法，综合应用知识的能力，是解好题目的关键．