Question

【题目】设函数f（x）=ex ， g（x）=kx+1．
（I）求函数y=f（x）﹣（x+1）的最小值；
（II）证明：当k＞1时，存在x0＞0，使对于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）；
（III）若存在实数m使对任意x∈（0，m）都有|f（x）﹣g（x）|＞x成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知y=ex﹣x﹣1，∴y'=ex﹣1，
设y'＞0得x＞0，设y'＜0得x＜0，
∴函数y=ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
则当x=0时，y有最小值为0
（II）证明：设h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）=ex﹣kx﹣1，
∴h'（x）=ex﹣k，设h'（x）=0得x=lnk（k＞1），
∵k＞1，∴当x∈（0，lnk）时，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，lnk）上单调递减，
而h（0）=0，且h（x）是R上的连续函数，
∴h（x）＜0在（0，lnk）上恒成立，
即f（x）＜g（x）在（0，lnk）上恒成立，
∴取0＜x0≤lnk，则对任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）
（III）①当k＞1时，由（II）知存在x0＞0，
使对于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x），
则不等式|f（x）﹣g（x）|＞x
等价于g（x）﹣f（x）＞x，即（k﹣1）x+1﹣ex＞0，
设t（x）=（k﹣1）x+1﹣ex ， t'（x）=k﹣1﹣ex ，
设t'（x）＞0得x＜ln（k﹣1），设t'（x）＜0得x＞ln（k﹣1），
若1＜k≤2，ln（k﹣1）≤0，
∵（0，x0）（ln（k﹣1），+∞），
∴t（x）在（0，x0）上递减，注意到t（0）=0，
∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，
若k＞2，ln（k﹣1）＞0，（0，ln（k﹣1））（﹣∞，ln（k﹣1）），
∴t（x）在（0，ln（k﹣1））上递增，
∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln（k﹣1）），t（x）＞0符合题设，
此时取0＜m≤min{x0 ， ln（k﹣1）}，
可得对任意x∈（0，m）都有|f（x）﹣g（x）|＞x
②当k≤1时，由（I）知ex﹣（x+1）≥0，
f（x）﹣g（x）=ex﹣kx﹣1=ex﹣（x+1）+（1﹣k）x≥（1﹣k）x≥0，
对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞x等价于ex﹣（k+1）x﹣1＞0，
设φ（x）=ex﹣（k+1）x﹣1，
则φ'（x）=ex﹣（k+1），
若k≤0，即有k+1≤1，∴对任意正数x，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上递增，
∵φ（0）=0，∴φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
此时，m可取任意正数都符合题设，
若0＜k≤1，设φ'（x）＞0得x＞ln（k+1）＞0，
设φ'（x）＜0得x＜ln（k+1），
∴φ（x）在（0，ln（k+1））上递减，注意到φ（0）=0，
∴对任意x∈（0，ln（k+1）），φ（x）＜0，不符合题设
综上所述，满足题设条件的k的取值范围为{k|k≤0或k＞2}
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（Ⅲ）通过讨论k的范围，①当k＞1时，得到（k﹣1）x+1﹣ex＞0，设t（x）=（k﹣1）x+1﹣ex ， 根据函数的单调性求出k的范围即可；②当k≤1时，等价于ex﹣（k+1）x﹣1＞0，设φ（x）=ex﹣（k+1）x﹣1，根据函数的单调性求出k的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．