Question

【题目】如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．
（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．

Answer 1

【答案】解：（I）设∠ABD=α，∠CBD=β．
在Rt△ABD中，cosα= = = ，∴α= ．
在Rt△CBD中，cosβ= = ，∴β= ．
∴α+β= ．
在△ABC中，AC2= =21．
∴AC= ．
（II）设∠BDC=θ，在△ACD中， = ，化为AC= cosθ．
在△ABC中， = ，化为：AC= cos（60°﹣θ），
∴ cosθ═ cos（60°﹣θ），化为：3cosθ=2cos（60°﹣θ），
∴3cosθ=cosθ+ sinθ，
∴tanθ= ．

【解析】（I）设∠ABD=α，∠CBD=β．在Rt△ABD中，cosα= ，可得α．在Rt△CBD中，cosβ= ，可得β．在△ABC中，利用余弦定理即可得出．（II）设∠BDC=θ，在△ACD中，由正弦定理可得： = ，化为AC= cosθ．同理在△ABC中，利用正弦定理可得：AC= cos（60°﹣θ），化简解出即可得出．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正确答案．