Question

18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=4且$\frac{cosB}{cosC}=\frac{4}{2a-c}$．
（1）求角B的大小；
（2）求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sinAcosB=sinA，结合sinA≠0，可得cosB，结合B范围，可求B的值．
（2）由已知及余弦定理，基本不等式可求ac≤16，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，…（1分）
将上式以及b=4代入已知$\frac{cosB}{cosC}=\frac{4}{2a-c}得\frac{cosB}{cosC}=\frac{sinB}{2sinA-sinC}$，…（3分）
即2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
即 2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，…（5分）
∵sinA≠0，可得：$cosB=\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，…（7分）
∴$16={（a+c）^2}-3ac，且a+c≥2\sqrt{ac}$，
∴ac≤16，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤4\sqrt{3}$，即三角形的面积最大值为 $4\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．