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    已知f（x）在x=a处可导，且f′（a）=b，求下列极限：
    （1）
    lim
    △h→0
    f(a+3h)-f(a-h)
    2h
    ；
    （2）
    lim
    △h→0
    f(a+h2)-f(a)
    h
    ．
    分析：（1）利用导数的定义把
    lim
    △h→0
    f(a+3h)-f(a-h)
    2h
    转化为
    lim
    h→0
    f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
    2h
    ，然后整理为
    3
    2
    lim
    h→0
    f(a+3h)-f(a)
    3h
    +
    1
    2
    lim
    h→0
    f(a-h)-f(a)
    -h
    ，由此可得
    lim
    △h→0
    f(a+3h)-f(a-h)
    2h
    ．

    （2）利用导数的定义把
    lim
    △h→0
    f(a+h2)-f(a)
    h
    转化为
    lim
    h→0
    [
    (a+h2) -f(a)
    h2
    h]    ，然后整理为
    lim
    h→0
    f(a+h2) -f(a)
    h2
    •
    lim
    h→0
    h    ，由此可得
    lim
    △h→0
    f(a+h2)-f(a)
    h
    的值．
    解答：解：（1）
    lim
    △h→0
    f(a+3h)-f(a-h)
    2h
    =
    lim
    h→0
    f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
    2h

    =
    lim
    h→0
    f(a+3h)-f(a)
    2h
    +
    lim
    h→0
    f(a)-f(a-h)
    2h

    =
    3
    2
    lim
    h→0
    f(a+3h)-f(a)
    3h
    +
    1
    2
    lim
    h→0
    f(a-h)-f(a)
    -h

    =
    3
    2
    f′ (a)+
    1
    2
    f′(a)    =2b．
    （2）
    lim
    △h→0
    f(a+h2)-f(a)
    h
    =
    lim
    h→0
    [
    (a+h2) -f(a)
    h2
    h]
    =
    lim
    h→0
    f(a+h2) -f(a)
    h2
    •
    lim
    h→0
    h    =f′（a）•0=0．
    点评：本题考查导数的定义，解题时要熟练掌握导数的概念．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
    f1(x)，f1(x)≤f2(x)
    f2(x)，f1(x)＞f2(x)

    （1）当a=1时，求f（x）的解析式；
    （2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
    （3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=-x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
    （1）求b，c的值；
    （2）求f（x）在x＜0时的表达式；
    （3）若关于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海模拟）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
    ①若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；
    ②若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；
    ③若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；
    ④若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；
    ⑤若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；
    其中正确命题的个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
    （Ⅰ）求g（x）的解析式；
    （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
    （Ⅲ）若数学公式，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间数学公式上的值域为数学公式，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2011年高三数学第一轮基础知识训练（20）（解析版） 题型：解答题

    已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
    （Ⅰ）求g（x）的解析式；
    （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
    （Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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