Question

已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，函数的顶点坐标为（2，2），从而求b，c的值；
（2）设x＜0，则-x＞0，再利用x＞0时，f（x）=-x²+bx+c，求得（-x）=-x²-4x-2，利用f（x）是奇函数，可得函数的解析式；
（3）只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，利用分类参数法求解．

解答：解：（1）由f（1）=f（3），f（2）=2知，函数的顶点坐标为（2，2），从而有

b 2 =2 -4c-b2 -4 =2

，∴

b=4 c=-2

；
（2）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=-x²-4x-2，∵f（x）是奇函数，∴-f（x）=-x²-4x-2，∴f（x）=x²+4x+2（x＜0）；
（3）由题意，只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，∴a=-x-

2

x

+4≤-2

2

+4，即a的取值范围是(-∞，-2

2

+4]．

点评：本题考查函数的解析式的求解，考查方程有解问题，考查分离参数法求参数的范围．