Question

【题目】已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，

当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；

当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得 ，

所以 ；

综上，x∈ ．

（2）解：因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，

所以F（a）=f（2）=4﹣2a；

当0＜a＜2时， ，

则f（x）在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，

所以F（a）=max{f（ ），f（2）}，

而 ，f（2）=4﹣2a，令 即 ，

解得 ，

所以当 时，F（a）=4﹣2a；

令 即 ，解得 或 ，

所以当 时， ；

当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，

当 即2≤a＜4时，f（x）在间 上是增函数，在 上是减函数，

则 ；

当 ，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；

所以，

【解析】（1）当a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1|，分类讨论，分别解关于x的不等式，最后取两部分的并集即可得到原不等式的解集；（2）由题意，分类讨论，确定函数的单调性，可得F（a）的表达式．