Question

【题目】已知函数，（是的导函数），在上的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在内的极值点个数，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）在上共有两个极值点，详见解析

【解析】

（1）先求得，再求得，再讨论的符号，判断函数的单调性，再求最值即可得解；

（2）利用（1）的结论，结合，，由零点定理可在上有且仅有一个变号零点；再当时，由导数的应用可使，即在上单调递增，在上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得在上有且仅有一个变号零点，综合即可得解.

解：（1）由

则，

则，

①当时，不合题意，舍去.

②当时，∴在上单调递减，∴，不合题意，舍去.

③当时，∴在上单调递增，∴，解得，

∴综上：.

（2）由（Ⅰ）知，，

当时，在上单调递增，，，

∴在上有且仅有一个变号零点；

当时，，∴在上单调递减.

又，，

∴使且当时，当时，

∴在上单调递增，在上单调递减.

又，，，∴在上有且仅有一个变号零点.

∴在和上各有一个变号零点，∴在上共有两个极值点.