Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），且f（a²-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是________．

Answer 1

6
分析：根据已知中函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|结合函数奇偶性的定义，我们可以求出函数为一个偶函数，则f（a²-3a+2）=f（a-1），可以转化为|a²-3a+2|=|a-1|，又由绝对值的几何意义，我们可得f（0）=f（1）=f（-1），可知a=2也满足要求，进而得到答案．
解答：∵函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函数f（x）为偶函数
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
则a²-3a+2=a-1，或a²-3a+2=-（a-1）
即a²-4a+3=0，或a²-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴当a=2时，也满足要求
故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6
故答案为6
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，及绝对值的几何意义，解答本题的技巧性较强，难度也比较大，其中分析出函数的奇偶性，从面将f（a²-3a+2）=f（a-1），转化为一个绝对值方程是解答本题的关键，但易忽略f（0）=f（1）=f（-1），而错解为4．