Question

14．已知等差数列$\frac{5}{6}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}，…$的前n项和为S_n，则使得S_n最大的序号n的值是（　　）

• A． 5或6
• B． 7或8
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 （解法一）：先求出通项公式，由正值相加增加，负值相加减小可得；
（解法二）：求出前n项和为S_n，从而由二次函数的性质判断最大值及最大值点即可；
（解法三）：直接列出数列$\frac{5}{6}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，0，-\frac{1}{6}…$，从而观察即可．

解答 解：（解法一）∵${a_1}=\frac{5}{6}，d=-\frac{1}{6}＜0$，
∴a_n=$\frac{5}{6}$+（n-1）（-$\frac{1}{6}$）=-$\frac{1}{6}$n+1；
由-$\frac{1}{6}$n+1≥0知，n≤6；
∴当n=5或n=6时S_n最大；
（解法二）∵${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}=\frac{n}{2}（\frac{5}{6}-\frac{1}{6}n+1）=-\frac{1}{12}{n^2}+\frac{11}{12}$=$-\frac{1}{12}{（n-\frac{11}{2}）^2}+\frac{121}{48}$，
∵n∈N^*，∴当n=5或n=6时S_n最大；
（解法三）该数列为$\frac{5}{6}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，0，-\frac{1}{6}…$，
观察知当n=5或n=6时S_n最大．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及前n项和S_n公式的应用，属于基础题．