Question

4．设函数y=x•f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则不等式f（${\sqrt{x+1}}$）＞$\sqrt{x-1}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$）的解集为[1，2）．

Answer 1

分析 根据函数的单调性将不等式进行变形即可得到结论．

解答 解：不等式f（${\sqrt{x+1}}$）＞$\sqrt{x-1}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$）等价为：
${\sqrt{x+1}}$•f（${\sqrt{x+1}}$）＞$\sqrt{x-1}$•${\sqrt{x+1}}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$），
即${\sqrt{x+1}}$•f（${\sqrt{x+1}}$）＞${\sqrt{{x^2}-1}}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$），
设g（x）=x•f（x），
则g（${\sqrt{x+1}}$）＞g（${\sqrt{{x^2}-1}}$），
∵函数y=x•f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x-1≥0}\\{x^2-1≥0}\\{\sqrt{x+1}＞\sqrt{{x}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≥1}\\{x≥1或x≤-1}\\{x+1＞{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x^2-x-2＜0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
解得1≤x＜2，
故不等式的解集为[1，2），
故答案为：[1，2）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数单调性，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．