Question

11．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=c=3，3sinA=2sinB．
（1）求a边的长；
（2）求cos（A-B）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理直接求得a的值；
（2）由余弦定理分别求得cosA、cosB的值，由同角三角函数基本关系求得sinA，sinB，根据两角差的余弦公式求得cos（A-B）．

解答 解：△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，3sinA=2sinB得：
3a=2b=6，∴a=2；
（2）由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4+9-9}{2×2×3}$=$\frac{1}{3}$，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+9-4}{2×3×3}$=$\frac{4}{9}$，
△ABC中，内角A、B、C，sinA＞0，sinB＞0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{65}}{9}$，sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{65}}{9}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
=$\frac{4+2\sqrt{130}}{27}$．

点评 本题考查正余弦定理的应用及两角差的余弦公式，属于中档题．