Question

1．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量$\overrightarrow m$=（cosA，cosC），$\overrightarrow n$=（c，a），$\overrightarrow p$=（2b，0），且$\overrightarrow m$•（$\overrightarrow n$-$\overrightarrow p$）=0
（1）求角A的大小；
（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-$\frac{π}{6}$）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m$•（$\overrightarrow n$-$\overrightarrow p$）=0，结合平面向量的坐标运算可得（c-2b）cosA+acosC=0，化边为角得cosA=$\frac{1}{2}$，进一步求得A的大小；
（2）利用两角差的正弦、倍角公式及辅助角公式化简f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-$\frac{π}{6}$），再由|x|≤A求得x的范围，进一步求得相位的范围，可得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$=（cosA，cosC），$\overrightarrow n$=（c，a），$\overrightarrow p$=（2b，0），
∴由$\overrightarrow m$•（$\overrightarrow n$-$\overrightarrow p$）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0，
得（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0，得-2sinBcosA+sinB=0．
∵sinB≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，得A=$\frac{π}{3}$；
（2）f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{\sqrt{3}}{2}si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1-cos2x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x$=$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$．
∵|x|≤A，A=$\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{3}$，得$-π≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$∈[$\frac{\sqrt{3}-2}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．