Question

已知：集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x₀，使得f(x₀＋1)＝f(x₀)＋f(1)成立．

(1)函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；

(2)设函数f(x)＝lg，求实数a的取值范围；

(3)证明：函数f(x)＝2^x＋x²∈M．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)f(x)＝的定义域为， 　　令，整理得x2＋x＋1＝0，Δ＝－3＜0， 　　因此，不存在x使得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)成立，所以f(x)＝；　3分 　　(Ⅱ)f(x)＝lg的定义域为R，f(1)＝lg，a＞0， 　　若f(x)＝lgM，则存在x∈R使得lg＝lg＋lg， 　　整理得存在x∈R使得(a2－2a)x2＋2a2x＋(2a2－2a)＝0． 　　(1)若a2－2a＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件： 　　(2)若a2－2a≠0即a时，令Δ≥0，解得a∈，综上，a∈[3－，3＋]；　7分 　　(Ⅲ)f(x)＝2x＋x2的定义域为R， 　　令2x＋1＋(x＋1)2＝(2x＋x2)＋(2＋1)，整理得2x＋2x－2＝0， 　　令g(x)＝2x＋2x－2，所以g(0)·g(1)＝－2＜0， 　　即存在x0∈(0，1)使得g(x)＝2x＋2x－2＝0， 　　亦即存在x0∈R使得2x＋1＋(x＋1)2＝(2x＋x2)＋(2＋1)，故f(x)＝2x＋x2∈M．　10分