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    已知：集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．

    (1)函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；

    (2)设函数f(x)＝lg，求实数a的取值范围；

    (3)证明：函数f(x)＝2x＋x2∈M．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)f(x)＝的定义域为，

    　　令，整理得x2＋x＋1＝0，Δ＝－3＜0，

    　　因此，不存在x使得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)成立，所以f(x)＝；　3分

    　　(Ⅱ)f(x)＝lg的定义域为R，f(1)＝lg，a＞0，

    　　若f(x)＝lgM，则存在x∈R使得lg＝lg＋lg，

    　　整理得存在x∈R使得(a2－2a)x2＋2a2x＋(2a2－2a)＝0．

    　　(1)若a2－2a＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件：

    　　(2)若a2－2a≠0即a时，令Δ≥0，解得a∈，综上，a∈[3－，3＋]；　7分

    　　(Ⅲ)f(x)＝2x＋x2的定义域为R，

    　　令2x＋1＋(x＋1)2＝(2x＋x2)＋(2＋1)，整理得2x＋2x－2＝0，

    　　令g(x)＝2x＋2x－2，所以g(0)·g(1)＝－2＜0，

    　　即存在x0∈(0，1)使得g(x)＝2x＋2x－2＝0，

    　　亦即存在x0∈R使得2x＋1＋(x＋1)2＝(2x＋x2)＋(2＋1)，故f(x)＝2x＋x2∈M．　10分


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
    （1）函数f(x)=
    1
    x
    是否属于集合M？说明理由；
    （2）设函数f(x)=lg
    a
    x2+1
    ∈M    ，求a的取值范围；
    （3）设函数y=2x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=
    k2
    +f（x）恒成立．现有两个函数：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log2x，则函数f（x）、g（x）与集合M的关系为
    f（x）∉M，g（x）∈M
    f（x）∉M，g（x）∈M
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：（1）当x∈[0，+∞）时，函数值为非负实数；（2）对于任意的s、t，都有f（s）+f（t）≤f（s+t）；在三个函数f1（x）=x，f2（x）=2x-1，f3（x）=ln（x+1）中，属于集合M的是
    f1（x）=x
    f1（x）=x
    ．

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    科目：高中数学 来源：2014届北京市高一上学期期中考试数学 题型：解答题

    已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得

    f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立。

    （1）函数f（x）＝是否属于集合M？说明理由；

    （2）设函数f（x）＝lg，求实数a的取值范围；

    （3）证明：函数f（x）＝2＋xM。

     

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