Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范围；
（3）设函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．

Answer 1

分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；
（3）利用f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和f（x）=2^x+x²∈M，整理出关于x₀的式子，利用y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明．

解答：解：（1）若f（x）=

1

x

∈M，在定义域内存在x₀，则

1

x0+1

=

1

x0

+1?x02+x0+1=0，
∵方程x₀²+x₀+1=0无解，∴f（x）=

1

x

∉M；（5分）
（2）由题意得，f（x）=lg

a

x2+1

∈M，
∴lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

，(a-2)x2+2ax+2（a-1）=0，
当a=2时，x=-

1

2

；
当a≠2时，由△≥0，得a²-6a+4≤0，a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
综上，所求的a∈[3-

5

，3+

5

]；（10分）
（3）∵函数f（x）=2^x+x²∈M，
∴f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2x0+1+(x0+1)2-2x0-x02-3
=2x0+2(x0-1)=2[2x0-1+(x0-1)]，
又∵函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，设交点的横坐标为a，
则2a+a=0?2x0-1+(x0-1)=0，其中x₀=a+1
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．（16分）

点评：本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．